Feuille d’exercices 9

Feuille d’exercices 9#

Objectifs

  • Expressions symboliques

  • Fonctions : dérivation, intégration, limites

  • Sommes, produits et séries

Exercice 1 : quelques limites#

Question 1 : Soit \(f(x) = \frac{x^3+x}{x-1}\).

  1. Définir l’expression symbolique associée à \(f\).

  2. Évaluer cette expression en \(x=1\), que se passe-t-il ?

  3. Calculer la limite de \(f(x)\) en \(x=1\), à gauche et à droite.

# Votre réponse ici

Question 2 : Soit \(n \ge 1\) et \(h_n\) la fonction à valeurs réelles définie par \(h_n(x) := (1 + \frac{x}{n})^n\) pour tout réel \(x\).

  1. Définir l’expression symbolique représentant \(h_n(x)\).

  2. Tracer sur un même graphique, entre \(x=-1\) et \(x=3\), les fonctions \(h_n\) pour \(n=1\), \(n=2\) et \(n= 10\) (utiliser différentes couleurs). Vers quelle fonction semble converger la suite \((h_n)_{n \ge 0}\) ?

  3. Pour \(x\) fixé, calculer la limite de \(h_n(x) = (1 + \frac{x}{n})^n\) lorsque \(n \to \infty\).

# Votre réponse ici

Question 3 : Pour \(x\) fixé, calculer la série

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} s_n(x) \quad \text{ où } \quad s_n(x) = (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,. \]
# Votre réponse ici

Exercice 2 : Dérivées, primitives et intégrales#

Question 1 : Calculer des dérivées de :

  • \(x \mapsto \ln(x-1)\)

  • \(x \mapsto \sin(x^2)\)

  • \(x \mapsto e^{\frac{1}{x^2}}\) (dérivée à l’ordre 2).

# Votre réponse ici

Question 2 : Calculer des primitives de :

  • \(x \mapsto \frac{1}{1+x^2}\)

  • \(x \mapsto \sin(x)^2\)

  • \(x \mapsto \frac{1}{x\ln(x)}\).

# Votre réponse ici

Question 3 : Calculer les intégrales suivantes :

  • \(\int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt\)

  • \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt\)

# Votre réponse ici

Exercice 3 : Un calcul de déterminant à paramètre#

Pour \(k \in \mathbb{R}\), on considère la matrice

\[\begin{split} M_k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 4k & 9 \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

Question 1. Construire la matrice \(M_k\) (sur l’anneau SR des éléments symboliques), en prenant le soin d’avoir défini préalablement la variable k.

# Votre réponse ici

Question 2. Déterminer les valeurs de \(k\) pour lesquelles la matrice \(M_k\) n’est pas inversible.

# Votre réponse ici

Exercice 4 : Des intégrales multiples#

Question 1. Soit \(x\) une variable réelle. Calculer l’intégrale à paramètre :

\[ c(x) = \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 1 dy \]
# Votre réponse ici

Question 2. En utilisant la fonction précédente, calculer l’intégrale double

\[ \int_{x=-1}^1 \left( \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 1 dy \right) dx \]

Qu’a t-on calculé ici (géométriquement) ? On pourra s’aider d’un affichage des graphes de \(x \mapsto \pm \sqrt{1-x^2}\) en fonction de \(x\).

# Votre réponse ici

Question 3. Calculer l’intégrale triple :

\[ \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} r^2 cos(\phi) dr d\theta d\phi \]

Qu’a t’on calculé ici (géométriquement) ?

# Votre réponse ici

Exercice 5 : D’autres limites#

Question 1 : Soit \(g(x) = \frac{\sin(x)}{x}\).

  1. Tracer \(g\) entre \(-3\pi\) et \(3\pi\).

  2. La fonction \(g\) peut-elle être évaluée en \(0\) ?

  3. Calculer la limite de \(g\) en \(0\) et en \(+\infty\).

# Votre réponse ici

Question 2 : Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}\) pour les valeurs de \(k=2, 4, 6, 8, 10\).

# Votre réponse ici
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