Feuille d’exercices 7

Feuille d’exercices 7#

Objectifs

  • Vecteurs

  • Matrices

  • Résolution de systèmes linéaires

Exercice 1. Opérations élémentaires#

Question 1 : Effectuer les opérations élémentaires suivantes sur des vecteurs :

  1. Créer le vecteur à coefficients réels \(v = (1.2, 0, -\sqrt{2})\).

  2. Stocker dans \(w\) le vecteur nul (à coefficients réels) de longueur \(3\), puis effectuer le produit scalaire entre \(v\) et \(w\).

  3. Créer le vecteur à coefficients réels \(u = (0.4, -1, \frac{\pi}{4})\), puis calculer \(v - 3u\).

# Votre réponse ici

Question 2 : Effectuer les opérations élémentaires suivantes sur des matrices à coefficients rationnels :

  1. Construire la matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) sur le corps des rationnels.

  2. Calculer le déterminant de \(A\), puis l’inverse \(A^{-1}\) de \(A\).

  3. Calculer la trace de \(A\) de deux manières : en utilisant la méthode trace(), puis en sommant « à la main » les deux valeurs diagonales.

  4. Construire la matrice \(B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}\).

  5. Construire la matrice identité \(I_2\) de taille \(2 \times 2\) (que l’on stockera dans la variable I2 pour ne pas écraser le nombre complexe imaginaire pur)

  6. Calculer \(B^\top (A + 7 I_2)\).

# Votre réponse ici

Exercice 2. Noyau, image et théorème du rang#

Question 1 : Construire la matrice à coefficients rationnels

\[\begin{split} M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

puis calculer le noyau et l’image de l’application \(x \in \mathbf{Q}^4 \mapsto Mx \in \mathbf{Q}^3\).

# Votre réponse ici

Question 2 : Vérifier que le théorème du rang est bien satisfait pour la matrice \(M\).

# Votre réponse ici

Exercice 3. Résolution de systèmes linéaires#

Question 1 : Trouver une solution au système linéaire :

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{cccccccc} - &x & & & + &2 z & = & 1 \\ & & &y & + &z & = & 2 \\ &x & - &2 y & - &5z & = & 3 \end{array} \right. \end{split}\]

On vérifiera que la solution donnée par Sagemath est bien correcte.

# Votre réponse ici

Question 2 : Décrire l’ensemble des solutions du système d’équations linéaires

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{cccccccccc} - &x & & & + &2 z & - & t & = & 1 \\ &3x & + &2y & + &z & + & 2t & = & 2 \\ &x & - &2 y & - &5z && & = & 3 \end{array} \right. \end{split}\]
# Votre réponse ici

Exercice 4 : transposée et matrice symétrique#

Question 1. Créer la matrice \(V\) de taille \(8 \times 8\) ayant comme coefficient \((i, j)\) l’entier \(j^{i-1}\) pour \(1 \le i \le 8\) et \(1 \le j \le 8\).

# Votre réponse ici

Question 2. Calculer la transposée \(V^\top\) de la matrice \(V\). Puis, vérifier avec le mot-clef all que \(V_{i,j} = V^\top_{j ,i}\) pour tous \(1 \le i \le 8\) et \(1 \le j \le 8\).

# Votre réponse ici

Question 3. Calculer \(S = V \cdot V^\top\) et vérifier que \(S\) est symétrique avec la méthode is_symmetric().

# Votre réponse ici

La matrice \(V\) est une matrice de Vandermonde. On sait donc théoriquement que son déterminant est

\[ {\rm det}(V) = \prod_{1 \le k < j \le 8} (j - k) \]

Question 4. Vérifier le résultat énoncé ci-dessus.

# Votre réponse ici

Exercice 5 : base et famille libre#

Soient \(u, v, w\) les trois vecteurs suivants :

\[\begin{split} u = \begin{pmatrix} -104 \\ 242 \\ -17 \\ 330 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} 322 \\ -744 \\ 90 \\ -1119 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} -19 \\ 43 \\ -9 \\ 76 \end{pmatrix} \end{split}\]

Question 1 : Les trois vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) forment-ils une famille libre dans \(\mathbb{Q}^4\) ?

# Votre réponse ici

Question 2 (plus ouverte) : Compléter \((u, v, w)\) avec un vecteur \(z \in \mathbb{Q}^4\) pour former une base de \(\mathbb{Q}^4\), de sorte que la matrice \(M\) formée des \(4\) vecteurs \((u, v, w, z)\) soit de déterminant égal à \(1\).

# Votre réponse ici
Contenu