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    "# Feuille d'exercices 7\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Objectifs\n",
    "* Vecteurs\n",
    "* Matrices\n",
    "* Résolution de systèmes linéaires\n",
    "```\n",
    "\n",
    "## Exercice 1. Opérations élémentaires\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Effectuer les opérations élémentaires suivantes sur des vecteurs :\n",
    "\n",
    "1. Créer le vecteur à coefficients réels $v = (1.2, 0, -\\sqrt{2})$.\n",
    "2. Stocker dans $w$ le vecteur nul (à coefficients réels) de longueur $3$, puis effectuer le produit scalaire entre $v$ et $w$.\n",
    "3. Créer le vecteur à coefficients réels $u = (0.4, -1, \\frac{\\pi}{4})$, puis calculer $v - 3u$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Effectuer les opérations élémentaires suivantes sur des matrices **à coefficients rationnels** :\n",
    "\n",
    "1. Construire la matrice $A = \\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$ sur le corps des rationnels.\n",
    "2. Calculer le déterminant de $A$, puis l'inverse $A^{-1}$ de $A$.\n",
    "3. Calculer la trace de $A$ de deux manières : en utilisant la méthode `trace()`, puis en sommant \"à la main\" les deux valeurs diagonales.\n",
    "4. Construire la matrice $B = \\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 2 & 4 \\end{pmatrix}$.\n",
    "5. Construire la matrice identité $I_2$ de taille $2 \\times 2$ (que l'on stockera dans la variable `I2` pour ne pas écraser le nombre complexe imaginaire pur)\n",
    "6. Calculer $B^\\top (A + 7 I_2)$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "## Exercice 2. Noyau, image et théorème du rang\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Construire la matrice à coefficients rationnels\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "M = \n",
    "\\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 1 & 1 & 1 \\\\\n",
    "2 & 3 & 4 & 5 \\\\\n",
    "-1 & -2 & -3 & -4 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "puis calculer le noyau et l'image de l'application $x \\in \\mathbf{Q}^4 \\mapsto Mx \\in \\mathbf{Q}^3$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Vérifier que le théorème du rang est bien satisfait pour la matrice $M$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "## Exercice 3. Résolution de systèmes linéaires\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Trouver **une** solution au système linéaire :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\left\\{\n",
    "    \\begin{array}{cccccccc}\n",
    "        - &x &  &    & + &2 z & = & 1 \\\\\n",
    "          & &  &y    & + &z   & = & 2 \\\\\n",
    "         &x & - &2 y & - &5z   & = & 3\n",
    "    \\end{array}\n",
    "    \\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "On vérifiera que la solution donnée par Sagemath est bien correcte."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Décrire l'ensemble des solutions du système d'équations linéaires\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\left\\{\n",
    "    \\begin{array}{cccccccccc}\n",
    "        - &x &  &    & + &2 z & - & t & = & 1 \\\\\n",
    "          &3x & + &2y    & + &z & +  & 2t & = & 2 \\\\\n",
    "         &x & - &2 y & - &5z  && & = & 3\n",
    "    \\end{array}\n",
    "    \\right.\n",
    "$$"
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    "# Votre réponse ici"
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    "## Exercice 4 : transposée et matrice symétrique\n",
    "\n",
    "**Question 1.** Créer la matrice $V$ de taille $8 \\times 8$ ayant comme coefficient $(i, j)$ l'entier $j^{i-1}$ pour $1 \\le i \\le 8$ et $1 \\le j \\le 8$."
   ]
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    "**Question 2.** Calculer la transposée  $V^\\top$ de la matrice $V$. Puis, vérifier avec le mot-clef `all` que $V_{i,j} = V^\\top_{j ,i}$ pour tous $1 \\le i \\le 8$ et $1 \\le j \\le 8$."
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    "**Question 3.** Calculer $S = V \\cdot V^\\top$ et vérifier que $S$ est symétrique avec la méthode `is_symmetric()`."
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    "La matrice $V$ est une **matrice de Vandermonde**. On sait donc théoriquement que son déterminant est\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "{\\rm det}(V) = \\prod_{1 \\le k < j \\le 8} (j - k)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "**Question 4.** Vérifier le résultat énoncé ci-dessus."
   ]
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    "## Exercice 5 : base et famille libre\n",
    "\n",
    "Soient $u, v, w$ les trois vecteurs suivants :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "u = \\begin{pmatrix} -104 \\\\ 242 \\\\ -17 \\\\ 330 \\end{pmatrix}, \\quad\n",
    "v = \\begin{pmatrix} 322 \\\\ -744 \\\\ 90 \\\\ -1119 \\end{pmatrix}, \\quad\n",
    "w = \\begin{pmatrix} -19 \\\\ 43 \\\\ -9 \\\\ 76 \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Les trois vecteurs $u$, $v$ et $w$ forment-ils une famille libre dans $\\mathbb{Q}^4$ ?"
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    "**Question 2 (plus ouverte) :** Compléter $(u, v, w)$ avec un vecteur $z \\in \\mathbb{Q}^4$ pour former une base de $\\mathbb{Q}^4$, de sorte que la matrice $M$ formée des $4$ vecteurs $(u, v, w, z)$ soit de déterminant égal à $1$."
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