Feuille d’exercices 7 – avancé

Feuille d’exercices 7 – avancé#

Objectifs

  • Vecteurs

  • Matrices

  • Résolution de systèmes linéaires

Avertissement

Ces exercices sont prévus pour les étudiant·e·s ayant déjà réussi la feuille d’exercices « classiques ».

Exercice 6 : interprétation géométrique de certaines applications linéaires#

Les deux lignes suivantes permettent de déclarer dans une variable T un triangle de couleur bleue, sont les sommets sont les vecteurs de coordonnées \((1, 1), (1, 2), (3, 1)\) présents dans la liste L.

L = [vector([1,1]), vector([1, 2]), vector([3, 1])]
T = polygon(L, color="blue")

Question 1 : Exécutez la cellule ci-dessus, puis afficher ce triangle dans une figure pour laquelle les abscisses et les ordonnées varient entre \(-4\) et \(4\). Pour cela, on utilisera la méthode .show() de l’objet T, avec les arguments optionnels usuels : xmin=-1, xmax=4, ymin=-4 et ymax=4.

# Votre réponse ici

Question 2 : On considère la matrice

\[\begin{split} R = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{split}\]

  1. Déclarer la matrice \(R\) pour \(\theta = \pi/3\)

  2. Appliquer la matrice \(R\) à chacun des vecteurs de la liste L, pour former ainsi une liste L2 de \(3\) vecteurs.

  3. Créer puis afficher le triangle T2 correspondant à la liste L2, en rouge, et sur la même figure que T. Pour cette dernière étape, on suivra la syntaxe suivante :

FIG = T + T2
FIG.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)

  1. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?

# Votre réponse ici

Question 3 : On considère la matrice

\[\begin{split} S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

  1. Déclarer la matrice \(S\)

  2. Appliquer la matrice \(S\) à chacun des vecteurs de la liste L, pour former ainsi une liste L3 de \(3\) vecteurs.

  3. Créer puis afficher le triangle T3 correspondant à la liste L3, en vert, et sur la même figure que T.

  4. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?

# Votre réponse ici

Question 4 : On considère la matrice

\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \end{split}\]

  1. Déclarer la matrice \(A\)

  2. Appliquer la matrice \(A\) à chacun des vecteurs de la liste L, pour former ainsi une liste L4 de \(3\) vecteurs.

  3. Créer puis afficher le triangle T4 correspondant à la liste L4, en jaune, et sur la même figure que T.

  4. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?

# Votre réponse ici

Exercice 7 : modélisation d’un système linéaire#

Question 1. Déterminer l’ensemble des matrices à coefficients rationnels, de taille \(2 \times 2\), dont la trace vaut \(2\), et qui admettent le vecteur \((1, 3)\) dans leur noyau à gauche.

# Votre réponse ici

Exercice 9 : matrice des pgcd#

On considère une matrice \(M_n\) de taille \(n \times n\), à coefficients entiers (donc rationnels), dont le coefficient d’indice \((i, j)\) est \({\rm pgcd}(i, j)\).

Question 1. Écrire une fonction matrice_pgcd(n) qui construite la matrice \(M\) pour la taille \(n\).

# Votre réponse ici

Question 2. Vérifier que \(M_n\) est symétrique pour toutes les valeurs de \(n\) entre \(1\) et \(20\).

# Votre réponse ici

Question 3. Combien vaut \({\rm Tr}(M_n)\) ? Vérifier le résultat avec Sagemath, pour des valeurs de \(n\) entre \(1\) et \(20\).

# Votre réponse ici

Question 4. On note \(\phi(k)\) l’indicatrice d’Euler, c’est-à-dire le nombre d’entiers entre \(1\) et \(k\) qui sont premiers avec \(k\). Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler pour des détails. Écrire une fonction indicatrice_euler(k) qui prend en entrée un entier \(k\) et retourne \(\phi(k)\).

# Votre réponse ici

Question 5. Vérifier que \({\rm det}(M_n) = \prod_{i=1}^n \phi(k)\), pour des valeurs de \(n\) entre \(1\) et \(20\).

# Votre réponse ici
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