Feuille d’exercices 8 – avancé

Feuille d’exercices 8 – avancé#

Objectifs

  • Polynômes

  • Réduction matricielle

Avertissement

Ces exercices sont prévus pour les étudiant·e·s ayant déjà réussi la feuille d’exercices « classiques ».

Exercice 5 : représentation symbolique de racines#

Question 1. Construire le polynôme \(P(X) = X^2 - 2\) à coefficients entiers, puis vérifier qu’il n’a aucune solution rationnelle (dans \(\mathbb{Q}\)) mais deux solutions réelles que l’on réprésentera comme des flottants de RR.

# Votre réponse ici

On souhaite maintenant voir les racines de \(P\) comme \(\pm \sqrt{2}\) en manipulant la valeur exacte de cette expression. Pour cela, Sagemath possède un anneau particulier, noté SR (pour Symbolic Ring) : celui des expressions symboliques.

Question 2. Calculer les racines de \(P\) dans SR. Stocker l’une de ces racines dans une variable r, puis l’élever au carré, et vérifier qu’on obtient bien la valeur exacte \(2\).

# Votre réponse ici

Question 3. Même question avec \(Q(X) = X^2 + 2\).

# Votre réponse ici

Question 4. Soit \(A(X) = X^4 - X^2 + X - 1\). Trouver une expression symbolique des racines de \(A\). On pourra obtenir une meilleure visualisation de cette expression grâce à la fonction show().

# Votre réponse ici

Exercice 6 : décomposition de polynôme pair/impair#

Un polynôme est pair si tous ses coefficients de degré impair sont nuls. Il est impair si ses coefficients de degré pair sont tous nuls.

Question 1 : Écrire une fonction est_pair(P) qui teste si un polynôme P est pair.

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Question 2 : Tracer le graphe de plusieurs polynômes pairs sur un même graphique. Puis, expliquer quelle propriété géométrique ces polynômes respectent.

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Question 3 : Reprendre les questions précédentes avec des polynômes impairs.

# Votre réponse ici

Décomposition paire/impaire. Tout polynôme \(F(X) \in \mathbb{R}[X]\) admet une unique décomposition sous la forme d’une somme d’un polynôme pair et d’un polynôme impair. Cette décomposition est donnée par : \(F(X) = P(X) + Q(X)\) où

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{lll} P(X) &= \frac{F(X)+F(-X)}{2} & \;\text{ est pair} \\ Q(X) &= \frac{F(X)-F(-X)}{2} & \;\text{ est impair} \\ \end{array} \right. \end{split}\]

Question 4 : Écrire une fonction decomposition(F) qui prend en entrée un polynôme F, et qui retourne sa décompositon en polynômes pair et impair sous la forme d’une liste de deux polynômes.

# Votre réponse ici
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