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  {
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   "id": "0eb99b0d",
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   "source": [
    "# Feuille d'exercices 8 -- avancé\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Objectifs\n",
    "* Polynômes\n",
    "* Réduction matricielle\n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{warning} \n",
    "Ces exercices sont prévus pour les étudiant·e·s ayant déjà réussi la feuille d'exercices \"classiques\".\n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "## Exercice 5 : représentation symbolique de racines\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 1.** Construire le polynôme $P(X) = X^2 - 2$ à coefficients entiers, puis vérifier qu'il n'a aucune solution rationnelle (dans $\\mathbb{Q}$) mais deux solutions réelles que l'on réprésentera comme des flottants de `RR`."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
   ]
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    "On souhaite maintenant voir les racines de $P$ comme $\\pm \\sqrt{2}$ en manipulant la valeur exacte de cette expression. Pour cela, Sagemath possède un anneau particulier, noté `SR` (pour `Symbolic Ring`) : celui des expressions symboliques.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 2.** Calculer les racines de $P$ dans `SR`. Stocker l'une de ces racines dans une variable `r`, puis l'élever au carré, et vérifier qu'on obtient bien la valeur exacte $2$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 3.** Même question avec $Q(X) = X^2 + 2$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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   "source": [
    "**Question 4.** Soit $A(X) = X^4 - X^2 + X - 1$. Trouver une expression symbolique des racines de $A$. On pourra obtenir une meilleure visualisation de cette expression grâce à la fonction ``show()``."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "## Exercice 6 : décomposition de polynôme pair/impair\n",
    "\n",
    "Un polynôme est **pair** si tous ses coefficients de degré impair sont nuls. Il est **impair** si ses coefficients de degré pair sont tous nuls.\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Écrire une fonction `est_pair(P)` qui teste si un polynôme `P` est pair."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Tracer le graphe de plusieurs polynômes pairs sur un même graphique. Puis, expliquer quelle propriété géométrique ces polynômes respectent."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 3 :** Reprendre les questions précédentes avec des polynômes impairs."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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   "source": [
    "**Décomposition paire/impaire.** Tout polynôme $F(X) \\in \\mathbb{R}[X]$ admet une unique décomposition sous la forme d'une somme d'un polynôme pair et d'un polynôme impair. Cette décomposition est donnée par : $F(X) = P(X) + Q(X)$ où \n",
    "\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{lll}\n",
    "P(X) &= \\frac{F(X)+F(-X)}{2}  & \\;\\text{ est pair} \\\\\n",
    "Q(X) &= \\frac{F(X)-F(-X)}{2}  & \\;\\text{ est impair} \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "**Question 4 :** Écrire une fonction `decomposition(F)` qui prend en entrée un polynôme `F`, et qui retourne sa décompositon en polynômes pair et impair sous la forme d'une liste de deux polynômes."
   ]
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   "display_name": "Sagemath",
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   "name": "sagemath"
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