Feuille d’exercices 10

Feuille d’exercices 10#

Objectifs

  • Variables aléatoires

  • Statistiques

Exercice 1 : variable aléatoire discrète#

Question 1 : Créer une variable aléatoire discrète X de distribution :

\[ (0.4, 0.3, 0.2, 0.1) \]
# Votre réponse ici

Question 2 : Tirer aléatoirement \(10000\) valeurs selon \(X\), et stocker ces valeurs dans une liste L.

# Votre réponse ici

La méthode de liste L.count(i) permet de compter le nombre d’occurences de l’élément i dans le liste L.

Question 3 : Dans une liste B, stocker à la position i le nombre d’occurences de i dans la liste L créée à la question précédente.

# Votre réponse ici

Question 4 : Visualiser la liste B sous forme de diagramme à barre, avec la fonction bar_chart(B, ymin=0).

# Votre réponse ici

Exercice 2 : variable aléatoire continue#

Question 1 : Créer une variable aléatoire \(G\) de distribution gaussienne et de variance \(\sigma = 1\).

# Votre réponse ici

Question 2 : Tirer aléatoirement \(10000\) valeurs selon \(G\), et stocker ces valeurs dans une liste M.

# Votre réponse ici

Question 3 : Calculer la moyenne de ces \(10000\) valeurs, puis comparer à la valeur espérée (\(0\)).

# Votre réponse ici

Question 4 : Calculer une approximation de l’écart-type de ces \(10000\) valeurs :

\[ \sqrt{\frac{1}{10000} \sum_{i=0}^{9999} M_i^2} \]

puis comparer à la valeur espérée (\(\sqrt{\sigma} = 1\)).

# Votre réponse ici

Exercice 3 : approximation de \(\pi\)#

Question 1 : Écrire une fonction interieur_disque(x, y) qui teste si un point de coordonnées \((x,y)\) est à l’intérieur du cercle de centre \((0, 0)\) et de rayon \(1\).

# Votre réponse ici

Question 2 : Écrire une fonction tirages_carre(N) qui retourne une liste de \(N\) points \((x, y)\), tirés uniformément dans \([-1, 1]^2\).

# Votre réponse ici

Question 3 : Afficher sur un même grahique le cercle unité (en bleu) et \(100\) points tirés selon la méthode de la question pérécedente (en rouge).

Indication : pour afficher un cercle, on peut utiliser la fonction circle(P, r), qui crée un cercle de centre P (un point du plan sous la forme d’une liste de ses deux coordonnées) et de rayon r (une valeur positive).

# Votre réponse ici

Pour de grandes valeurs de \(N\), le rapport \(r = \frac{N_{\rm in}}{N}\) entre le nombre de tirages à l’intérieur du disque et le nombre de tirages total, tend vers le rapport \(a = \frac{{\rm aire(disque)}}{{\rm aire(carré)}}\) des aires du disque et du carré \([-1, 1]^2\).

Question 4 : Déduire de la remarque précédente une approximation de \(\pi\), en tirant \(10000\) points.

# Votre réponse ici

Exercice 4 : fougère de Barnsley#

Le but de cet exercice est de produire la fractale appelée « fougère de Barnsley », référence ici.

Pour construire cette fractale, on considère \(4\) matrices \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\) et \(4\) vecteurs \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) et \(b_4\) :

\[\begin{split} M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0.16 \end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.04 \\-0.04 & 0.85 \end{pmatrix},\quad M_3 = \begin{pmatrix} 0.2 & -0.26 \\ 0.23 & 0.22 \end{pmatrix},\quad M_4 = \begin{pmatrix} -0.15 & 0.28 \\ 0.26 & 0.24 \end{pmatrix} \end{split}\]
\[\begin{split} b_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix},\quad b_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.6 \end{pmatrix},\quad b_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1.6 \end{pmatrix},\quad b_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.44 \end{pmatrix} \end{split}\]

Cette fractale est produite de la manière suivante :

  • on part du point initial \(P_0 = (x_0, y_0) = (0, 0)\)

  • puis, pour tout \(n\), le point \(P_n\) est construit en fonction de \(P_{n-1}\) avec un processus aléatoire :

    • avec probabilité \(0.01\), on a \(P_n = M_1 P_{n-1} + b_1\)

    • avec probabilité \(0.85\), on a \(P_n = M_2 P_{n-1} + b_2\)

    • avec probabilité \(0.07\), on a \(P_n = M_3 P_{n-1} + b_3\)

    • avec probabilité \(0.07\), on a \(P_n = M_4 P_{n-1} + b_4\)

Pour un entier \(N\) fixé, la fractale de Barnsley de taille \(N\) correspond à l’ensemble des points \(P_0, \dots, P_{N-1}\) ainsi construits.

Voici la fractale voulue (avec \(250000\) points).

fougere

Question. Construire une fonction fougere(N) qui construit la liste des points de la fractale de Barnsley de taille \(N\).

Puis, afficher cette fractale pour \(N = 1000\), \(N = 10000\) et si possible, \(N= 100000\). Pour l’affichage, on utilisera un nuage de points verts de taille size=2 ou size=1, et on enlèvera les axes de la figure avec l’option axes=False.

# Votre réponse ici
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