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   "source": [
    "# Feuille d'exercices 9\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Objectifs\n",
    "* Expressions symboliques\n",
    "* Fonctions : dérivation, intégration, limites\n",
    "* Sommes, produits et séries\n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "## Exercice 1 : quelques limites\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Soit $f(x) = \\frac{x^3+x}{x-1}$.\n",
    "1. Définir l'expression symbolique associée à $f$.\n",
    "2. Évaluer cette expression en $x=1$, que se passe-t-il ?\n",
    "3. Calculer la limite de $f(x)$ en $x=1$, à gauche et à droite."
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Soit $n \\ge 1$ et $h_n$ la fonction à valeurs réelles définie par $h_n(x) := (1 + \\frac{x}{n})^n$ pour tout réel $x$. \n",
    "1. Définir l'expression symbolique représentant $h_n(x)$.\n",
    "1. Tracer sur un même graphique, entre $x=-1$ et $x=3$, les fonctions $h_n$ pour $n=1$, $n=2$ et $n= 10$ (utiliser différentes couleurs). Vers quelle fonction semble converger la suite $(h_n)_{n \\ge 0}$ ?\n",
    "1. Pour $x$ fixé, calculer la limite de $h_n(x) = (1 + \\frac{x}{n})^n$ lorsque $n \\to \\infty$."
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 3 :** Pour $x$ fixé, calculer la série\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{+\\infty} s_n(x) \n",
    "\\quad \\text{ où } \\quad s_n(x) = (-1)^n \\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\,.\n",
    "$$"
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    "## Exercice 2 : Dérivées, primitives et intégrales\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Calculer des dérivées de :\n",
    "- $x \\mapsto \\ln(x-1)$\n",
    "- $x \\mapsto \\sin(x^2)$\n",
    "- $x \\mapsto e^{\\frac{1}{x^2}}$ (dérivée à l'ordre 2)."
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 2 :** Calculer des primitives de :\n",
    "- $x \\mapsto \\frac{1}{1+x^2}$\n",
    "- $x \\mapsto \\sin(x)^2$\n",
    "- $x \\mapsto \\frac{1}{x\\ln(x)}$."
   ]
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    "# Votre réponse ici"
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    "**Question 3 :** Calculer les intégrales suivantes :\n",
    "- $\\int_{1}^{2} \\frac{1}{t} dt$\n",
    "- $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-t^2} dt$"
   ]
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    "## Exercice 3 : Un calcul de déterminant à paramètre\n",
    "\n",
    "Pour $k \\in \\mathbb{R}$, on considère la matrice \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "M_k =\n",
    "\\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 2 & 3 \\\\\n",
    "k & 1 & 1 \\\\\n",
    "1 & 4k & 9 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 1.** Construire la matrice $M_k$ (sur l'anneau `SR` des éléments symboliques), en prenant le soin d'avoir défini préalablement la variable `k`."
   ]
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    "**Question 2.** Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles la matrice $M_k$ n'est pas inversible."
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    "## Exercice 4 : Des intégrales multiples\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Question 1.** Soit $x$ une variable réelle. Calculer l'intégrale à paramètre :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "c(x) = \\int_{y=-\\sqrt{1-x^2}}^{\\sqrt{1-x^2}} 1 dy\n",
    "$$"
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    "**Question 2.** En utilisant la fonction précédente, calculer l'intégrale double\n",
    "\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\int_{x=-1}^1 \\left( \\int_{y=-\\sqrt{1-x^2}}^{\\sqrt{1-x^2}} 1 dy \\right) dx\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Qu'a t-on calculé ici (géométriquement) ? On pourra s'aider d'un affichage des graphes de $x \\mapsto \\pm \\sqrt{1-x^2}$ en fonction de $x$."
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    "**Question 3.** Calculer l'intégrale triple :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\int_{r=0}^R \\int_{\\theta=0}^{2\\pi} \\int_{\\phi=-\\pi/2}^{\\pi/2} r^2 cos(\\phi) dr d\\theta d\\phi\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Qu'a t'on calculé ici (géométriquement)  ?"
   ]
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    "## Exercice 5 : D'autres limites\n",
    "\n",
    "**Question 1 :** Soit $g(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}$.\n",
    "1. Tracer $g$ entre $-3\\pi$ et $3\\pi$. \n",
    "2. La fonction $g$ peut-elle être évaluée en $0$ ?\n",
    "3. Calculer la limite de $g$ en $0$ et en $+\\infty$."
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    "**Question 2 :** Calculer $\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^k}$ pour les valeurs de $k=2, 4, 6, 8, 10$."
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