{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "5c5e1d02", "metadata": {}, "source": [ "# Feuille d'exercices 7 -- avancé\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "```{admonition} Objectifs\n", "* Vecteurs\n", "* Matrices\n", "* Résolution de systèmes linéaires\n", "```\n", "\n", "\n", "\n", "```{warning} \n", "Ces exercices sont prévus pour les étudiant·e·s ayant déjà réussi la feuille d'exercices \"classiques\".\n", "```\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "## Exercice 6 : interprétation géométrique de certaines applications linéaires\n", "\n", "Les deux lignes suivantes permettent de déclarer dans une variable `T` un triangle de couleur bleue, sont les sommets sont les vecteurs de coordonnées $(1, 1), (1, 2), (3, 1)$ présents dans la liste `L`." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "4cbbdcad", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "L = [vector([1,1]), vector([1, 2]), vector([3, 1])]\n", "T = polygon(L, color=\"blue\")" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a74f940f", "metadata": {}, "source": [ "**Question 1 :** Exécutez la cellule ci-dessus, puis afficher ce triangle dans une figure pour laquelle les abscisses et les ordonnées varient entre $-4$ et $4$. Pour cela, on utilisera la méthode `.show()` de l'objet `T`, avec les arguments optionnels usuels : `xmin=-1`, `xmax=4`, `ymin=-4` et `ymax=4`." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "f9c96770", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "T.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "79d863cd", "metadata": {}, "source": [ "**Question 2 :** On considère la matrice \n", "\n", "$$\n", " R = \\begin{pmatrix}\n", " \\cos(\\theta) & -\\sin(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) & \\cos(\\theta) \\end{pmatrix}\n", "$$\n", "\n", "1. Déclarer la matrice $R$ pour $\\theta = \\pi/3$\n", "2. Appliquer la matrice $R$ à chacun des vecteurs de la liste `L`, pour former ainsi une liste `L2` de $3$ vecteurs.\n", "3. Créer puis afficher le triangle `T2` correspondant à la liste `L2`, en rouge, et sur la même figure que `T`. Pour cette dernière étape, on suivra la syntaxe suivante :\n", "```\n", "FIG = T + T2\n", "FIG.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)\n", "```\n", "4. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "7ebd56ce", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "theta = pi/3\n", "R = matrix([[cos(theta), -sin(theta)], [sin(theta), cos(theta)]])\n", "L2 = [R*u for u in L]\n", "T2 = polygon(L2, color=\"red\")\n", "FIG = T + T2\n", "FIG.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ce87da59", "metadata": {}, "source": [ "On observe une rotation du triangle, d'angle $\\pi/3$, autour du point $(0, 0)$.\n", "\n", "\n", "\n", "**Question 3 :** On considère la matrice \n", "\n", "$$\n", " S = \\begin{pmatrix}\n", " 0 & -1 \\\\\n", " -1 & 0 \\end{pmatrix}\n", "$$\n", "\n", "1. Déclarer la matrice $S$\n", "2. Appliquer la matrice $S$ à chacun des vecteurs de la liste `L`, pour former ainsi une liste `L3` de $3$ vecteurs.\n", "3. Créer puis afficher le triangle `T3` correspondant à la liste `L3`, en vert, et sur la même figure que `T`.\n", "4. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "7e43f4e2", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "S = matrix([[0, -1], [-1, 0]])\n", "L3 = [S*u for u in L]\n", "T3 = polygon(L3, color=\"green\")\n", "FIG = T + T3\n", "FIG.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4216f736", "metadata": {}, "source": [ "On observe une symétrie axiale d'axe la droite d'équation $y = -x$.\n", "\n", "\n", "\n", "**Question 4 :** On considère la matrice \n", "\n", "$$\n", "A = \\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\\\ 0 & 1/2 \\end{pmatrix}\n", "$$\n", " \n", "1. Déclarer la matrice $A$\n", "2. Appliquer la matrice $A$ à chacun des vecteurs de la liste `L`, pour former ainsi une liste `L4` de $3$ vecteurs.\n", "3. Créer puis afficher le triangle `T4` correspondant à la liste `L4`, en jaune, et sur la même figure que `T`.\n", "4. Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "63b6fa65", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A = matrix([[0.5, 0], [0, 0.5]])\n", "L4 = [A*u for u in L]\n", "T4 = polygon(L4, color=\"yellow\")\n", "FIG = T + T4\n", "FIG.show(xmin=-4, xmax=4, ymin=-4, ymax=4)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7ffcaf67", "metadata": {}, "source": [ "On observe une homothétie de centre le point $(0,0)$ et de rapport $1/2$.\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "## Exercice 7 : modélisation d'un système linéaire\n", "\n", "**Question 1.** Déterminer l'ensemble des matrices à coefficients rationnels, de taille $2 \\times 2$, dont la trace vaut $2$, et qui admettent le vecteur $(1, 3)$ dans leur noyau à gauche.\n", "\n", "\n", "\n", "Les matrices recherchées sont de la forme $M = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ où $(a, b, c, d)$ forme le vecteur des inconnues. Pour trouver l'ensemble des matrices $M$ qui sont de trace égale à $1$ et qui admettent $(1, 3)$ dans leur noyau à gauche, il faut expliciter les équations :\n", "\n", "$$\n", "\\begin{array}{ll}\n", " {\\rm Tr(M) = 1} & \\iff \\; a + d = 1 \\\\\n", " {\\rm (1, 3)} \\in {\\rm Ker_g(M)} &\\iff (1, 3) \\cdot M \\\\\n", " ~ & \\iff a + 3c = 0 \\;\\text{ et } \\; b + 3d = 0\n", "\\end{array}\n", "$$\n", "\n", "Il ne reste plus qu'à résoudre ce système de $3$ équations à $4$ inconnues." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "963c41b5", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "A = matrix(QQ, [ [1, 0, 0, 1], [1, 0, 3, 0], [0, 1, 0, 3] ])\n", "b = vector(QQ, [1, 0, 0])\n", "\n", "x = A.solve_right(b)\n", "K = A.right_kernel()\n", "\n", "\n", "print(\"Les solutions de la forme x + v avec\")\n", "print(\"x = \", x)\n", "print(\"et v un élément de l'espace vectoriel engendré par \")\n", "print(K.basis())" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "15f2ab80", "metadata": {}, "source": [ "On en déduit que les matrices recherchées sont de la forme \n", "\n", "$$\n", "\\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ -1/3 & 0 \\end{pmatrix} + \\lambda \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ -1/3 & -1 \\end{pmatrix}, \\quad \\text{ pour } \\lambda \\in \\mathbb{Q}\n", "$$\n", "\n", "\n", "\n", "## Exercice 9 : matrice des pgcd\n", "\n", "On considère une matrice $M_n$ de taille $n \\times n$, à coefficients entiers (donc rationnels), dont le coefficient d'indice $(i, j)$ est ${\\rm pgcd}(i, j)$.\n", "\n", "\n", "**Question 1.** Écrire une fonction `matrice_pgcd(n)` qui construite la matrice $M$ pour la taille $n$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "ab8e658b", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def matrice_pgcd(n):\n", " L = [ [gcd(i+1, j+1) for j in range(n)] for i in range(n) ]\n", " return matrix(QQ, L)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "92ae2caa", "metadata": {}, "source": [ "**Question 2.** Vérifier que $M_n$ est symétrique pour toutes les valeurs de $n$ entre $1$ et $20$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "24bdba4b", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print( all( matrice_pgcd(n).is_symmetric() for n in range(1, 21) ) )" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "60d740a3", "metadata": {}, "source": [ "**Question 3.** Combien vaut ${\\rm Tr}(M_n)$ ? Vérifier le résultat avec Sagemath, pour des valeurs de $n$ entre $1$ et $20$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "4f57a8b7", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print( all( matrice_pgcd(n).trace() == n*(n+1)/2 for n in range(1, 21) ) )" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f9d60bde", "metadata": {}, "source": [ "**Question 4.** On note $\\phi(k)$ l'indicatrice d'Euler, c'est-à-dire le nombre d'entiers entre $1$ et $k$ qui sont premiers avec $k$. Voir [https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler](https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler) pour des détails. Écrire une fonction `indicatrice_euler(k)` qui prend en entrée un entier $k$ et retourne $\\phi(k)$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "f992a659", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def indicatrice_euler(n):\n", " return len([x for x in range(1, n+1) if gcd(x, n) == 1])\n", " \n", "print(indicatrice_euler(12))" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2c3bc87b", "metadata": {}, "source": [ "**Question 5.** Vérifier que ${\\rm det}(M_n) = \\prod_{i=1}^n \\phi(k)$, pour des valeurs de $n$ entre $1$ et $20$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "bb15f60c", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "determinants = [ matrice_pgcd(n).det() for n in range(1, 21) ]\n", "produits = [ 1 ]\n", "for n in range(2, 21):\n", " produits.append(produits[n-2]*indicatrice_euler(n))\n", " \n", "print( all( determinants[n] == produits[n] for n in range(20) ) )" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Sagemath", "language": "python", "name": "sagemath" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }