{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "ec09d889", "metadata": {}, "source": [ "# Feuille d'exercices 9 -- avancé\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "```{admonition} Objectifs\n", "* Expressions symboliques\n", "* Fonctions : dérivation, intégration, limites\n", "* Sommes, produits et séries\n", "```\n", "\n", "\n", "\n", "```{warning} \n", "Ces exercices sont prévus pour les étudiant·e·s ayant déjà réussi la feuille d'exercices \"classiques\".\n", "```\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "## Exercice 6 : aire d'une ellipse\n", "\n", "Généralement, une ellipse a pour équation cartésienne :\n", "\n", "$$\n", " \\left(\\frac{x}{a}\\right)^2 + \\left(\\frac{y}{b}\\right)^2 = 1\n", "$$\n", "\n", "où $a$ et $b$ sont deux paramètres de l'ellipse (grand coté et petit coté).\n", "\n", "\n", "\n", "**Question 1.** Définir l'équation de l'ellipse comme une expression symbolique en les variables $x, y, a, b$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "94c0e879", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e5f46c46", "metadata": {}, "source": [ "**Question 2.** En effectuant les substitutions adéquates, vérifier que l'ellipse admet deux symétries axiales, selon l'axe des abscisses et selon l'axe des ordonnées." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "6545ca66", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7559d162", "metadata": {}, "source": [ "**Question 3.** À partir des questions précédentes, et à l'aide des fonctions d'intégration de sagemath, calculer l'aire de l'ellipse en fonction de $a$ et $b$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "e574ed5e", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8edb4212", "metadata": {}, "source": [ "## Exercice 7 : méthode des trapèzes\n", "\n", "Un trapèze rectangle a la forme suivante :" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "e42fe469", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "polygon([[0,0], [1,0], [1,3], [0,4]], axes=False)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c1eecad0", "metadata": {}, "source": [ "Il est formé de deux côtés parallèles et de deux angles droits.\n", "\n", "\n", "**Question 1.** Écrire une fonction ``aire_trapeze(base, cote1, cote2)`` qui calcule l'aire d'un trapèze dont la base (le côté ayant deux angles droits) a longueur ``base`` et dont les deux côtés parallèles ont longueur ``cote1`` et ``cote2``." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "530387f9", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9d2c7ad8", "metadata": {}, "source": [ "La méthode des trapèzes permet de calculer une valeur approchée d'une intégrale. Supposons que l'on souhaite calculer\n", "\n", "$$\n", " I = \\int_a^b f(t) dt\n", "$$\n", "\n", "L'idée est la suivante :\n", "- on fixe un paramètre entier $n \\ge 1$, destiné à devenir grand,\n", "- on découpe l'intervalle $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles réguliers $[t_i, t_{i+1}]$, autrement dit $t_0 = a$ et $t_{i+1} = t_i + (b-a)/n$\n", "- on calcule l'aire $A_i$ du trapèze dont les $4$ sommets ont pour coordonnées dans le plan :\n", "\n", "$$\n", " (t_i, 0), \\quad (t_{i+1}, 0), \\quad (t_{i+1}, f(t_{i+1})), \\quad (t_i, f(t_i))\n", "$$\n", "\n", "- la valeur approchée de l'intégrale est alors la somme des aires des trapèze :\n", "\n", "$$\n", " S_n = \\sum_{i=0}^{n-1} A_i\n", "$$\n", "\n", "On estime alors que $S_n \\to I$ lorsque $n \\to \\infty$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "38d1d7b0", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "var('x')\n", "f = (1/10)*x**3 + (1/2)*x + 1\n", "p = plot(f, color=\"red\", xmin=-2, xmax=2)\n", "for i in range(-2,2):\n", " p += polygon([[i,0], [i+1,0], [i+1,f(x=i+1)], [i,f(x=i)]], color=\"lightskyblue\") \n", "p.show()" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e134ef83", "metadata": {}, "source": [ "**Question 2.** Écrire une fonction ``integrale_approchee(f, a, b, n)`` qui exécute la méthode des trapèzes et retourne la valeur approchée $S_n$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "f5694c6f", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5f9a416c", "metadata": {}, "source": [ "On note $E(n) = |I - S_n|$ l'erreur d'approximation de la méthode des trapèzes.\n", "\n", "**Question 3.** Tracer la courbe de $E(n)$ en fonction de $n$, pour la fonction $f = \\sin(x)$ dans l'intervalle $[a, b] = [0, \\pi]$." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "bdc7b671", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5364afca", "metadata": {}, "source": [ "**Question 4.** Écrire une fonction ``integrale_approchee_symbolique(f, a, b)`` qui retourne une **expression symbolique** représentant $S_n$. On rappelle que pour déclarer une variable $n$ destinée à être entière et strictement positive, il faut ajouter les commandes :\n", "```\n", "assume(n>0)\n", "assume(n, 'integer')\n", "```\n", "après la déclaration de la variable." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "eb723473", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8cd6e669", "metadata": {}, "source": [ "**Question 5.** À l'aide de la fonction ``taylor``, donner un équivalent asymptotique en fonction de $n$ de la vitesse de convergence de la méthode des trapèzes, pour la fonction $f(x) = \\sin(x)$ dans l'intervalle $[0, \\pi]$. \n", "\n", "*Indication : en tapant ``taylor?``, on cherchera comment utiliser cette fonction.*" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "39409ba2", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Votre réponse ici" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Sagemath", "language": "python", "name": "sagemath" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }