\documentclass[a4paper, 11pt]{article}


%----------------- NE RIEN ENLEVER ----------------%
%-------- VOUS POUVEZ AJOUTER DES PACKAGES --------%
%-------------- SI VOUS LE SOUHAITEZ --------------%
\usepackage{ae,lmodern}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
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%--------------------------------------------------%



%--------------- NE PAS MODIFIER ------------------%
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\sloppy
\widowpenalty10000
\clubpenalty10000
\geometry{top=1.8cm, bottom=1.8cm, left=1.5cm, right=1.5cm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorème}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{claim}[theorem]{Fait} 
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque}
\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
%--------------------------------------------------%



%################## À REMPLIR #####################%
\newcommand\nometudiant{nom/prénom}  % remplir ici vos nom et prénom
\newcommand\dateseance{jj/mm/aaaa}   % remplir ici la date de la séance
\newcommand\numeroseance{0}          % remplir ici le numéro de la séance
%##################################################%


%--------------- NE PAS MODIFIER ------------------%
\newcommand\teachername{Julien Lavauzelle}
\newcommand\coursename{Tremplin Master}
\newcommand\schoolyear{2022--23}
\newcommand\courselevel{Licence 3 Mathématiques}
\newcommand\university{Université Paris 8} 
\author{}

\title{
  \vspace{-8ex}
  \rule{\linewidth}{1pt} \\
  \vspace{-5pt}
         {\large \university \hfill \hfill Prof. : \teachername } \\
         \vspace{-8pt}
         {\large  \hfill Etud. : \nometudiant } \\         
         \vspace{-12pt}
         {\large \coursename } \\
         \vspace{-4pt}
       {\large {\courselevel } \quad --- \quad {année \schoolyear }} \vspace{-8pt} \\
       \rule{\linewidth}{1pt} \vspace{-1ex} \\
            {
              {\Large Notes de cours de la séance n°{$\numeroseance$} du {\dateseance }, \\
                rédigées par {\nometudiant }
            } \\
            \vspace{-4ex}
}
\date{\normalsize le \today}
}
%--------------------------------------------------%




%################## À REMPLIR #####################%
\begin{document}
\maketitle
\bigskip      % espacement vertical 

\section{Première section}  % remplacer par le nom de la section

\subsection{Première sous-section}

% à vous d'ecrire !

Un peu de texte introductif

\begin{definition}[Application linéaire]
  Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un  corps commutatif $K$. Une application $f : E \to F$ est dite linéaire si elle vérifie les propriétés :
  \begin{enumerate}
  \item d'additivité : $\forall (x,y) \in E^2, f(x+y) = f(x) + f(y)$ ;
  \item d'homogénéité : $\forall x \in E, \forall \lambda \in K, f(\lambda x) = \lambda f(x)$.
  \end{enumerate}  
\end{definition}


\begin{proposition}[définition équivalente]
  Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un  corps commutatif $K$. Soit $f : E \to F$. Alors, 
  \[
    f \text{ est $K$-linéaire } \iff \forall (x,y) \in E^2, \forall \lambda \in K, f(x + \lambda y) = f(x) + \lambda f(y)\,.
  \]
\end{proposition}
\begin{proof}
  faire la preuve... (tirée de \cite{ma_reference})
\end{proof}


Pour centrer les formules, trois façons équivalentes :
\[
    \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 
\]
\begin{equation*}
    \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 
\end{equation*}
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 
$$


Une matrice avec des parenthèses
$\begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6 \\
\end{pmatrix}
$
et une matrice avec des crochets
$\begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6 \\
\end{bmatrix}
$.

\newpage

Dans la Figure~\ref{fig:my_label}, on voit la fonction sinus.

\begin{figure}[ht!]
\centering
    \includegraphics[scale=0.5]{sinus.png}
    \caption{Fonction sinus}
    \label{fig:my_label}
\end{figure}

La Figure~\ref{fig:tikz} sera en bas de page (grâce à l'option \texttt{[b]} de l'environnement \texttt{figure}).

\begin{figure}[b]
\centering
\begin{tikzpicture}

    
    \draw[fill=blue] (0,0) circle (1);
    \draw[very thick, red] (0,0) -- (2,0);
    \draw [very thin, gray, dashed](-3,-3) grid (3,3);
    
 \end{tikzpicture}
    \caption{Figure en Tikz}
    \label{fig:tikz}
\end{figure}

Par conséquent, on peut insérer des paragraphes entre-temps (même si, dans le fichier \texttt{template.tex}, ils sont écrit \textbf{après} la Figure~\ref{fig:tikz}).

\newpage
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{biblio}

\end{document}
